Теория и практика параллельных вычислений
Последовательные методы решения задачи Дирихле
Одним из наиболее распространенных подходов к численному решению дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (метод сеток) (см., например, [[6], [13], [60]]). Следуя этому подходу, область решения D можно представить в виде дискретного (как правило, равномерного) набора (сетки) точек (узлов). Так, например, прямоугольная сетка в области D может быть задана в виде (рис. 11.1)
где величина N задает количество внутренних узлов по каждой из координат области D.
Обозначим оцениваемую при подобном дискретном представлении аппроксимацию функции u(x,y) в точках (xi, yj) через uij. Тогда, используя пятиточечный шаблон (см. рис. 11.1) для вычисления значений производных, мы можем представить уравнение Пуассона в конечно-разностной форме
Данное уравнение может быть разрешено относительно uij:
uij=0,25(ui-1,j+ui+1,j+ui,j-1-h2fij).
Разностное уравнение, записанное в подобной форме, позволяет определять значение uij по известным значениям функции u(x,y) в соседних узлах используемого шаблона. Данный результат служит основой для построения различных итерационных схем решения задачи Дирихле, в которых в начале вычислений формируется некоторое приближение для значений uij, а затем эти значения последовательно уточняются в соответствии с приведенным соотношением. Так, например, метод Гаусса – Зейделя для проведения итераций уточнения использует правило
по которому очередное k-е приближение значения uij вычисляется по последнему k-му приближению значений ui-1,j и ui,j-1 и предпоследнему (k-1)-му приближению значений ui+1,j и ui,j+1. Выполнение итераций обычно продолжается до тех пор, пока получаемые в результате итераций изменения значений uij не станут меньше некоторой заданной величины (требуемой точности вычислений). Сходимость описанной процедуры (получение решения с любой желаемой точностью) является предметом всестороннего математического анализа (см., например, [[6], [13], [60]]), здесь же отметим, что последовательность решений, получаемых методом сеток, равномерно сходится к решению задачи Дирихле, а погрешность решения имеет порядок h2.
Рис. 11.1. Прямоугольная сетка в области D ( темные точки представляют внутренние узлы сетки, нумерация узлов в строках слева направо, а в столбцах — сверху вниз)
Рассмотренный алгоритм (метод Гаусса – Зейделя) на псевдокоде, приближенном к алгоритмическому языку С++, может быть представлен в виде:
Алгоритм 11.1. Последовательный алгоритм Гаусса – Зейделя
// Алгоритм 11.1 do { dmax = 0; // максимальное изменение значений u for ( i=1; i<N+1; i++ ) for ( j=1; j<N+1; j++ ) { temp = u[i][j]; u[i][j] = 0.25*(u[i-1][j]+u[i+1][j]+ u[i][j-1]+u[i][j+1]–h*h*f[i][j]); dm = fabs(temp-u[i][j]); if ( dmax < dm ) dmax = dm; } } while ( dmax > eps );
(напомним, что значения uij при индексах i,j=0,N+1 являются граничными, задаются при постановке задачи и не изменяются в ходе вычислений).
Рис. 11.2. Вид функции u(x,y) в примере для задачи Дирихле
Для примера на рис. 11.2
приведен вид функции u(x,y), полученной для задачи Дирихле при следующих граничных условиях:
Общее количество итераций метода Гаусса – Зейделя составило 210 при точности решения eps=0,1 и N=100 (в качестве начального приближения величин uij использовались значения, сгенерированные датчиком случайных чисел из диапазона [-100, 100]).
