Теория и практика параллельных вычислений
систем линейных уравнений
Системы линейных уравнений возникают при решении ряда прикладных задач, описываемых системами нелинейных (трансцендентных), дифференциальных или интегральных уравнений. Они могут появляться также в задачах математического программирования, статистической обработки данных, аппроксимации функций, при дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных разностей или методом конечных элементов и т.д.
Линейное уравнение с n неизвестными x0, x1, ..., xn-1 может быть определено при помощи выражения
a0x0+a1x1+...+an-1xn-1=b,
где величины a0, a1, ..., an-1 и b представляют собой постоянные значения.
Множество n линейных уравнений
a0,0x0 + a0,1x1 + ... + a0,n-1xn-1 = b0
a1,0x0 + a1,1x1 + ... + a1,n-1xn-1 = b1
. . . an-1,0x0 + an-1,1x1 + ... + an-1,n-1xn-1 = bn-1
называется системой линейных уравнений или линейной системой. В более кратком (матричном) виде система может быть представлена как
Ax=b,
где A=(ai,j) есть вещественная матрица размера n?n, а векторы b и x состоят из n элементов.
Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b понимается нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.
В системе ПараЛаб реализованы два алгоритма решения систем линейных уравнений: широко известный метод Гаусса (прямой метод решения систем линейных уравнений, находит точное решение системы с невырожденной матрицей за конечное число шагов) и метод сопряженных градиентов – один из широкого класса итерационных методов решения систем линейных уравнений с матрицей специального вида. Более полная информация об алгоритмах решения систем линейных уравнений, реализованных в системе ПараЛаб, содержится в лекции 8.
