Контекстно-свободные грамматики и автоматы с магазинной памятью

Пусть G = (N, T, P, S) - КС-грамматика. Введем несколько важных понятий и определений.

Вывод, в котором в любой сентенциальной форме на каждом шаге делается подстановка самого левого нетерминала, называется левосторонним. Если S

* u в процессе левостороннего вывода, то u - левая сентенциальная форма. Аналогично определим правосторонний вывод. Обозначим шаги левого (правого) вывода l (r).

Упорядоченным графом называется пара (V,E), где V есть множество вершин, а E - множество линейно упорядоченных списков дуг, каждый элемент которого имеет вид ((v, v1), (v, v2), ... , (v, vn)). Этот элемент указывает, что из вершины v выходят n дуг, причем первой из них считается дуга, входящая в вершину v1, второй - дуга, входящая в вершинуv2, и т.д.

Упорядоченным помеченным деревом называется упорядоченный граф (V,E), основой которого является дерево и для которого определена функция f : V

F (функция разметки) для некоторого множества F.

Упорядоченное помеченное дерево D называется деревом вывода (или деревом разбора) цепочки w в КС-грамматике G = (N, T, P, S), если выполнены следующие условия:

(1) корень дерева D помечен S;

(2) каждый лист помечен либо

, либо e;

(3) каждая внутренняя вершина помечена нетерминалом

;

(4) если X - нетерминал, которым помечена внутренняя вершина и X1, ... , Xn - метки ее прямых потомков в указанном порядке, то X

X1 ... Xk - правило из множества P;

(5) Цепочка, составленная из выписанных слева направо меток листьев, равна w.

Процесс определения принадлежности данной строки языку, порождаемому данной грамматикой, и, в случае указанной принадлежности, построение дерева разбора для этой строки, называется синтаксическим анализом. Можно говорить о восстановлении дерева вывода (в частности, правостороннего или левостороннего) для строки, принадлежащей языку. По восстановленному выводу можно строить дерево разбора.

Грамматика G называется неоднозначной, если существует цепочка w, для которой имеется два или более различных деревьев вывода в G.

Грамматика G называется леворекурсивной, если в ней имеется нетерминал A такой, что для некоторой цепочки R существует вывод A

+ A.

Автомат с магазинной памятью (МП-автомат) - это семерка M = (Q, T, ?, D, q0, Z0, F), где

(1) Q - конечное множество состояний, представляющих всевозможные состояния управляющего устройства;

(2) T - конечный входной алфавит;

(3) ? - конечный алфавит магазинных символов;

(4) D - отображение множества Q x (T {e}) x ? в множество конечных подмножеств Q x ?*, называемое функцией переходов;

(5) - начальное состояние управляющего устройства;

(6) - символ, находящийся в магазине в начальный момент (начальный символ магазина);

(7) - множество заключительных состояний.

Конфигурация МП-автомата - это тройка (q, w, u), где

(1) - текущее состояние управляющего устройства;

(2) - непрочитанная часть входной цепочки; первый символ цепочки w находится под входной головкой; если w = e, то считается, что вся входная лента прочитана;

(3) - содержимое магазина; самый левый символ цепочки u считается верхним символом магазина; если u = e, то магазин считается пустым.

Такт работы МП-автомата M будем представлять в виде бинарного отношения , определенного на конфигурациях.

Будем писать



если множество D(q, a, Z) содержит (p, v), где и (верхушка магазина слева).

Начальной конфигурацией МП-автомата M называется конфигурация вида (q0, w, Z0), где , то есть управляющее устройство находится в начальном состоянии, входная лента содержит цепочку, которую нужно проанализировать, а в магазине имеется только начальный символ Z0.

>Заключительной конфигурацией называется конфигурация вида (q, e, u), где , то есть управляющее устройство находится в одном из заключительных состояний, а входная цепочка целиком прочитана.

Введем транзитивное и рефлексивно-транзитивное замыкание отношения , а также его степень k > 0 (обозначаемые , и соответственно).

Говорят, что цепочка w допускается МП-автоматом M, если для некоторых и .

Множество всех цепочек, допускаемых автоматом M называется языком, допускаемым (распознаваемым, определяемым) автоматом M (обозначается L(M)).

Пример 4.1. Рассмотрим МП-автомат

M = ({q0, q1, q2}, {a, b}, {Z, a, b}, D, q0, Z, {q2}),



у которого функция переходов D содержит элементы:

D(q0, a, Z) = {(q0, aZ)}, D(q0, b, Z) = {(q0, bZ)}, D(q0, a, a) = {(q0, aa), {q1, e)}, D(q0, a, b) = {(q0, ab)}, D(q0, b, a) = {(q0, ba)}, D(q0, b, b) = {(q0, bb), (q1, e)}, D(q1, a, a) = {(q1, e)}, D(q1, b, b) = {(q1, e)}, D(q1, e, Z) = {(q2, e)}.

Нетрудно показать, что , где wR обозначает обращение ("переворачивание") цепочки w.

Иногда допустимость определяют несколько иначе: цепочка w допускается МП-автоматом M, если для некоторого . В таком случае говорят, что автомат допускает цепочку опустошением магазина. Эти определения эквивалентны, ибо справедлива


Содержание раздела

---

---