Связь предсказуемости с нормой прибыли
Особенностью предсказния финансовых временных рядов является стремление к получению максимальной прибыли, а не минимизации среднеквадратичного отклонения, как это принято в случае аппроксимации функций.
В простейшем случае ежедневной торговли прибыль зависит от верно угаданого знака изменения котировки. Поэтому нейросеть нужно ориентировать именно на точность угадывания знака, а не самого значения. Найдем как связана норма прибыли с точностью определения знака в простейшей постановке ежедневного вхождения в рынок ( рисунок 8.9).
Рис. 8.9. Ежедневное вхождение в рынок
Обозначим на момент
: полный капитал игрока
, относительное изменение котировки
, а в качестве выхода сети возьмем степень ее уверенности в знаке этого изменения
. Такая сеть с выходной нелинейностью вида
обучается предсказывать знак изменения и выдает прогноз знака с амплитудой пропорциональной его вероятности. Тогда возрастание капитала на шаге
запишется в виде:
где
- доля капитала, "в игре". Выигрыш за все время игры:
нам и предстоит максимизировать, выбрав оптимальный размер ставок
. Пусть в среднем игрок угадывает долю
знаков и, соответственно, ошибается с вероятностью
. Тогда логарифм нормы прибыли,
а следовательно и сама прибыль, будет максимальным при значении
и составит в среднем:
Здесь мы ввели коэффициент
. Например, для Гауссова распределения
. Степень предсказуемости знака напрямую связана с кросс-энтропией, которую можно оценить a priory методом box-counting. Для бинарного выхода (см. рисунок 8.10):
Рис. 8.10. Доля правильно угаданных направлений изменений ряда как функция кросс-энтропии знака выхода при известных входах
В итоге получаем следующую оценку нормы прибыли при заданной величине предсказуемости знака
, выраженной в битах:
То есть, для ряда с предсказуемостью
в принципе возможно удвоить капитал за
вхождений в рынок. Так, например, измеренная выше предсказуемость временного ряда S&P500, равная
(см.
рисунок 8.8) предполагает удвоение капитала в среднем за
вхождений в рынок. Таким образом, даже небольшая предсказуемость знака изменения котировок способна обеспечить весьма заметную норму прибыли.
Подчеркнем, что оптимальная норма прибыли требует достаточно аккуратной игры, когда при каждом вхождении в рынок игрок рискует строго определенной долей капитала:
где
- типичная при данной волатильности рынка
величина выигрыша или
проигрыша. 1) Как меньшие, так и большие значения ставок уменьшают прибыль. Причем, чересчур рискованная игра может привести к проигрышу при любой предсказательной способности. Этот факт иллюстрирует рисунок 8.11.
Рис. 8.11. Зависимость средней нормы прибыли от выбора доли капитала "на кону"
Поэтому приведенные выше оценки дают представление лишь о верхнем пределе нормы
прибыли. 2)
Более тщательный анализ с учетом влияния флуктуаций, выходит за рамки нашего изложения. Качественно понятно, однако, что выбор оптимального размера контрактов требует оценки точности предсказаний на каждом шаге.
Содержание раздела