Математическая теория формальных языков



             

Лемма о разрастании для линейных языков


Определение 9.2.1.

Линейная грамматика в нормальной форме - это такая линейная грамматика, в которой каждое правило имеет вид , ,

или , где , , .

Теорема 9.2.2.

Каждая линейная грамматика эквивалентна некоторой линейной грамматике в нормальной форме.

Теорема 9.2.3.

Если линейный язык не содержит пустого слова, то он порождается некоторой линейной грамматикой в нормальной форме без -правил.

Теорема 9.2.4.

Язык L является линейным тогда и только тогда, когда язык

является линейным. \end{theorem}

Лемма 9.2.5.

Пусть L - линейный язык над алфавитом . Тогда найдется такое положительное целое число p, что для любого слова

длины не меньше p можно подобрать слова , для которых верно uvxyz = w,

(то есть или ),

и

для всех .

Доказательство. Пусть язык

порождается линейной грамматикой в нормальной форме

без -правил. Положим p = |N| + 1. Пусть

и . Зафиксируем некоторое дерево вывода слова w в грамматике G. Рассмотрим самый длинный путь в этом дереве (он начинается с корня и заканчивается некоторым листом, помеченным символом из ). Этот путь содержит не менее |N| + 1 вершин, помеченных элементами N. Среди первых |N| + 1 вершин рассматриваемого пути найдутся две вершины с одинаковыми метками. Выберем слова u, v, x, y и z так, что uvxyz = w, поддерево с корнем в одной из найденных вершин имеет крону x и поддерево с корнем в другой найденной вершине имеет крону vxy.

Пример 9.2.6.

Рассмотрим язык

над алфавитом {a,b}. Утверждение леммы 9.2.5 не выполняется ни для какого натурального числа p. Следовательно, язык L не является линейным.

Упражнение 9.2.7. Какому классу принадлежит язык

Упражнение 9.2.8. Какому классу принадлежит язык

Упражнение 9.2.9. Какому классу принадлежит язык




Содержание  Назад  Вперед