Математическая теория формальных языков



             

Представления контекстно-свободных языков посредством гомоморфизмов


Теорема 11.3.1.

Рассмотрим алфавит

и язык , порождаемый контекстно-свободной грамматикой G0:

Произвольный язык

является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существует такой гомоморфизм , что L = h-1(L0) или .

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 11.2.4. Приведем теперь идею доказательства необходимости (полное доказательство можно найти в [Сал, с. 103-109]).

Пусть дан произвольный контекстно-свободный язык L. Согласно теореме 8.4.6 язык

порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой , в которой каждое правило имеет один из следующих трех видов: , , , где .

Определим вспомогательную функцию , ставящую в соответствие каждому символу из

конечный язык над алфавитом

следующим образом:

Искомый гомоморфизм h определяется следующим образом: если

положим

Пример 11.3.2.

Пусть . Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

Тогда L = h-1(L0), где гомоморфизм h задан равенствами

h(d) = cb1b2b1a1a2a2a1a1a2a1c, h(f) = cb1b2b1cb1b2b2b1a1a2a2a2a1cb1b2b2b1a1a2a2a2a1a1a2a2a1c, h(g) = cb1b2b2b2b1c.

Рассмотрим, например, слово . Проверим, что слово h(dffg) выводится в грамматике G0

из теоремы 11.3.1. Очевидно, что . С помощью последних пяти правил грамматики G0

можно вывести, что

Осталось найти такие шесть выводимых из C слов , что

Подходят слова

w1 = c, w2 = c, w3 = cb1b2b2b1a1a2a2a2a1cb1b2b2b1a1a2a2a2a1a1a2a2a1c, w4 = cb1b2b1c, w5 = cb1b2b2b1a1a2a2a2a1a1a2a2a1c, w6 = c.

Теорема 11.3.3 (Теорема Хомского-Шютценберже).

Язык

является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральное число n, автоматный язык L1

над алфавитом

и гомоморфизм , что , где - язык Дика над 2n буквами.

Доказательство можно найти в [Лал, с. 331-333].

Упражнение 11.3.4.

Рассмотрим язык L1, порождаемый грамматикой

и язык L2, порождаемый грамматикой

Найти такой гомоморфизм , что




Содержание  Назад