Математическая теория формальных языков



             

Дополнение контекстно-свободного языка


Лемма 16.3.1.

Рассмотрим алфавит . Язык

является контекстно-свободным при любом .

Пример 16.3.2.

Пусть . Тогда язык

над алфавитом

порождается контекстно-свободной грамматикой

Заметим, что

для каждого i.

Язык

является даже линейным (чтобы получить линейную грамматику, достаточно "раскрыть" вспомогательные символы A, B и Z).

Замечание 16.3.3.

Лемму 16.3.1 можно доказать, явно построив контекстно-свободную грамматику (как в примере 16.3.2), а можно и вывести из теоремы 12.2.7}, проверив, что - детерминированный контекстно-свободный язык.

Определение 16.3.4.

Пусть , , , где

и

для всех i. Обозначим через

язык .

Лемма 16.3.5.

Язык

является контекстно-свободным при любых и .

Доказательство. .

Лемма 16.3.6.

Дополнение языка

является непустым тогда и только тогда, когда постовская система соответствия

имеет решение.

Доказательство Утверждение следует из леммы 16.1.2.

Теорема 16.3.7.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом

узнать, верно ли, что .

Доказательство Очевидно, что

тогда и только тогда, когда дополнение языка L(G) является пустым.

Теорема 16.3.8.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2

над алфавитом

узнать, верно ли, что L(G1) = L(G2).

Доказательство Утверждение следует из предыдущей теоремы и примера 1.5.16.

Теорема 16.3.9.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2

над алфавитом

узнать, верно ли, что .

Доказательство Очевидно, что

тогда и только тогда, когда .

Лемма 16.3.10.

Дополнение языка

является бесконечным тогда и только тогда, когда постовская система соответствия

имеет решение.

Теорема 16.3.11.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом

узнать, является ли бесконечным множество .

Упражнение 16.3.12.

Рассмотрим язык, порождаемый грамматикой

Содержит ли этот язык все слова из {a,b}*?

Упражнение 16.3.13.

Рассмотрим язык, порождаемый грамматикой

{a,b}*?




Содержание  Назад  Вперед