Математическая теория формальных языков



             

Проблемы контекстной свободности


Определение 16.5.1.

Пусть , , , где

и

для всех i. Обозначим через

язык .

Лемма 16.5.2.

Язык

является контекстно-свободным при любых и .

Доказательство Утверждение следует из теорем 9.4.4 и 9.4.2.

Лемма 16.5.3. Рассмотрим алфавит . Пусть

и , где ,

и

для всех i. Тогда язык

является контекстно-свободным в том и только том случае, когда постовская система соответствия

не имеет решений.

Доказательство. Пусть - решение постовской системы соответствия , где

для всех i. Положим

Легко проверить, что ,

и язык L0

является автоматным. Очевидно, что

Можно доказать (например, используя лемму 9.1.1), что язык

не является контекстно-свободным. Согласно теореме 9.6.1 язык

также не~является контекстно-свободным.

Обратно, если постовская система соответствия

не имеет решений, то .

Теорема 16.5.4.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2

над алфавитом

узнать, является ли контекстно-свободным язык .

Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия , где ,

и для всех i выполняется ,

и , контекстно-свободную грамматику G1, порождающую язык , и контекстно-свободную грамматику G2, порождающую язык . С учетом леммы 16.5.3 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.

Лемма 16.5.5.

Рассмотрим алфавит . Язык

является контекстно-свободным при любых и .

Доказательство. Положим . Язык

можно представить в виде объединения пяти контекстно-свободных языков

Теорема 16.5.6.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом

узнать, является ли контекстно-свободным язык .

Доказательство. Рассмотрим алфавит . Достаточно построить по постовской системе соответствия , где ,

и для всех i выполняется ,

и , контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык . С учетом леммы 16.5.5 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к~неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.

Лемма 16.5.7.

Рассмотрим алфавит . Язык

является контекстным при любых и .

Теорема 16.5.8.

Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстной грамматике G над алфавитом

узнать, является ли контекстно-свободным язык L(G).

Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия , где ,

и для всех i выполняется ,

и , контекстную грамматику G, порождающую язык .

Упражнение 16.5.9.

Является ли контекстно-свободным язык , где язык L порождается грамматикой




Содержание  Назад