Основы теории нечетких множеств



             

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел - часть 2


удовлетворяла условиям (1) и для любого

Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.

Вывод

Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.

Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть

Очевидно, что если алгебраическая система

удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).

Пример.

Рассмотрим поле действительных чисел. Функция является взаимно однозначным отображением на . Определим операции и таким образом, чтобы являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:

Таким образом, мы получим

Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика

будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число . Для произвольного нечеткого треугольного числа противоположным числом будет и обратным элементом будет .

Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:

Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.




Содержание  Назад  Вперед