Основы теории нечетких множеств
Операции конъюнкции и дизъюнкции - часть 2
Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции и , удовлетворяющие следующим условиям:
- Дистрибутивность:
- Монотонность:
- Граничные условия:
Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:
Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:
И из
следует
Аналогично выводится
Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким ограничением на возможную форму операций конъюнкции и дизъюнкции. Удаление этого свойства из множества аксиом устраняет единственность операций и и дает возможность совершать построения широкого спектра нечетких связок. Свойство дистрибутивности очень важно в логике, так как оно дает возможность совершать эквивалентные преобразования логических форм из дизъюнктивной в конъюнктивную форму и обратно. Оно активно используется в процедурах минимизации логических функций, в процедурах логического вывода на основе принципа резолюции и т.п. Однако, во многих задачах такие преобразования логических форм не являются необходимыми, и поэтому оказалось, что свойство дистрибутивности может быть "довольно безболезненно" удалено из системы аксиом, определяющих нечеткие операции конъюнкции и дизъюнкции. Основной аксиомой для них является ассоциативность, и свойства этих операций во многом определяются общими свойствами ассоциативных функций и операций, активно изучающихся в математике.
Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие -нормы и -конормы:
(минимум),
(максимум),
(произведение),
(вероятностная сумма),
(t-норма Лукасевича),
(t-конорма Лукасевича),
(сильное произведение),
(сильная сумма).
Для любых -норм и -конорм выполняются следующие неравенства:
Таким образом, -нормы и
являются минимальной и максимальной границами для всех -норм. Аналогично, -конормы
являются минимальной и максимальной границами для всех -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.
