Выбор и пересчет координат трехмерных графиков

Для трехмерных графиков возможно задание 31 типа координатных систем с помощью параметра сооrds= Тип _ координатной _ системы. Поскольку на экране монитора поверхность отображается только в прямоугольной системе координат и характеризуется координатами х, у и z, то для представления поверхности, заданной в иной системе координат с координатами u, v и w, используются известные [46, 47] формулы для преобразования (u, v, w) --> (х, у, z). Ниже перечислены типы трехмерных координатных систем и соответствующие формулы преобразования.

bipolar-cylindrical:

х = a*sinh(v)/(cosh(v)-cos'(u))

у = a*sin(u)/(cosh(v)-cos(u))

z = w

bispherical:

x = sin(u)*cos(w)/d

у = sin(u)*sin(w)/d

z = sinh(v)/d где d - cosh(v) - cos(u)

cardioidal:

x = u*v*cos(w)/(u^2+v^2)^2

у -=u*v*sin(w)/(u^2+v^2)^2

z = (u^2-v^2)/2/(u^2+v^2)^2

cardioidcylindrical:

x = (u^2-v^2)/2/(u^2+v^2)^2

у - u*v/(u^2+v^2)^2

z =w

casscylindhcal:

x = a*2^(l/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+l)^(l/2)+exp(u)*cos(v)+l)^(l/2)

у = a*2^(l/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+l)^(l/2)-exp(u)*cos(v)-l)^(l/2)

z =w

confocalellip:

x = ((a^2-u)*(a^2-v)*(a^2-w)/(a^2-b^2)/(a^2-c^2))^(l/2)

у = ((b^2-u)*(b^2-v)*(b^2-w)/(b^2-a^2)/(b^2-c^2))^(l/2)

z = ((c^2-u)*(c^2-v)*(c^2-w)/(c^2-a^2)/(c^2-b^2))^(l/2)

confocalparab:

x = ((a^2-u)*(a^2-v)*(a^2-w)/(b^2-a^2)^(l/2)

у = ((b^2-u)*(b^2-v)*(b^2-w)/(b^2-a^2))^(l/2)

z = (a^2+b^2-u-v-w)/2

conical:

x = u*v*w/(a*b)

у = u/b*((v^2 - b^2)*(b^2-w^2)/(a^2-b^2))^(l/2)

z= u/a*((a^2 - v^2)*(a^2 - w^2)/(a^2-b^2))6(l/2)

cylindrical:

x = u*cos(y)

у = u*sin(y)

z = w

ellcylindrical:

x =a*cosh(u)*cos(v)

у = a*sinh(u)*sin(v)

z = w

ellipsoidal:

x = u*v*w/a/b

у = ((u^2-b^2)*(u^2-b^2)*(b^2-w^2)/(а^2-b^2)^(1/2)/b

z = ((u^2-a^2)*(a^2-v^2)*(a^2-w^2)/(a^2-b^2)^(l/2)/a

hypercylindrical:

x = ((u^2+v^2)^(l/2)-ni)^(l/2)

у = ((u^2+v^2)^(l/2)-u)^(l/2)

z = w

invcasscylindrical:

x = a*2^(l/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+l)^(l/2) +

exp(u)*cos(v)+1)^(l/2)/(exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(l/2)

у = a*2^(l/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(l/2) -

exp(u)*cos(v)-1)^(l/2)/(exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)-1)^(l/2)

z = w

invellcylindrical:

x = a*cosh(u)*cos(v)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)

у = a*sinh(u)*sin(v)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)

z = w

invoblspheroidal:

x = a*cosh(u)*sin(v)*cos(w)/(cosh(u)^2-cos(v)^2)

у = a*cosh(u)*sin(v)*sin(w)/(cosh(u)^2-cos(v)^2)

z = a*sinh(u)*cos(v)/(cosh(u)^2-cos(v)^2)

invprospheroldal:

x = a*s1nh(u)*sin(v)*cos(w)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)

у = a*sinh(u)*sin(v)*sin(w)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)

z = a*cosh(u)*cos(v)/(cosh(u)^2-s1n(v)^2)

logcyllndrical:

x = a/Pi*ln(u^2+v^2)

у = 2*a/Pi*arctan(v/u)

z = w

logcoshcylindrical:

x = a/Pi*ln(cosh(u^2-sin(v)^2)

у = 2*a/Pi*arctan(tanh(u)*tan(v))

z = w

maxwell cylindrical:

x = a/P1*(u+l+exp(u)*cos(v))

у = a/Pi*(v+exp(u)*sin(v))

z = w

oblatespheroidal:

x = a*cosh(u)*s1n(v)*cos(w)

у = a*cosh(u)*sin(v)*sin(w)

z = a*s1nh(u)*cos(v)

parabololdal:

x = u*v*cos(w)

у = u*v*sin(w)

z = (u^2 - v^2)/2

paraboloidal2:

x = 2*((u-a)*(a-v)*(a-w)/(a-b)^(l/2)

у = 2*((u-b)*(b-v)*(b-w)/(a-b))^(l/2)

z = u+v+w-a-b

paracylindrical:

x = (iT2 - v*2)/2

у =u*v

z = w

prolatespheroidal:

x = a*sinh(u)*sin(v)*cos(w)

y=a*s1nh(u)*sin(v)*sin(w)

z=a*cosh(u)*cos(v)

rectangular:

x = u

у = v

z = w

rosecylindrlcal:

х =((u^2+v^2)^(l/2)-Hi)^(l/2)/(u^2+v^2)^(l/2)

у = ((u^2+v^2)^(l/2)-u)^(l/2)/(u^2+v^2)^(l/2)

z =w

sixsphere:

x = u/(u^2+v^2+w^2)

у = v/(u^2+v^2+w^2)

z = w/(u^2+v^2+w^2)

spherical:

x = u*cos(v)*sin(w)

у = u*sin(v)*sin(w)

z = u*cos(w)

tangentcylindrical:

x = u/(u^2+v^2) '

у = v/(u^2+v^2)

z = w

tangentsphere:

x = u*cos(w)/(u^2+v^2)

у = u*sin(w)/(u^2+v^2)

z = v/(u^2+v^2)

toroidal:

x = a*sinh(v)*cos(w)/d

у = a*sinh(v)*sin(w)/d

z = a*sin(u)/d где d = cosh(v) - cos(u)

Эти формулы полезно знать, поскольку в литературе встречаются несколько отличные формулы пересчета. Вид графиков трехмерных поверхностей очень сильно различается в разных координатных системах. По умолчанию трехмерные графики строятся в прямоугольной системе координат — rectangular.

Содержание раздела