Логические связки
Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком ¬), конъюнкция (знак ?), дизъюнкция (знак ?), импликация (знак ?) и эквивалентность (знак ?).
Высказывание ¬A (читается «не A») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, ¬A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.
Высказывание A ? B (читается «A и B») означает утверждение, что верно и A, и B. Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B.
Высказывание A ? B («A или B») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.
Высказывание A ? B читается «A влечет B» или «если A, то B». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.
Наконец, высказывание A ? B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.
Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬A ? B означает «A неверно, а B верно», а высказывание ¬(A ? B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A ? B ? C понимается как A ? (B ? C), но не как (A ? B) ? C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b × c означает a + (b × c), но не (a + b) × c.
Приведем несколько примеров составных высказываний.
Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ? «цапля сохла» ? «цапля сдохла».
Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» ? «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» ? «Z < -1». Определение логической связки ? данное выше, можно записать так:
[(A ? B) ? (A ? B) ? (¬A ? ¬B)] ? [(A ? B) ? (¬A ? ¬B) ? (A ? B)]
Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:
«Свет включен» ? «Лампочка не горит» ? «Нет электричества» ? «Перегорели пробки» ? «Перегорела лампочка».
Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.
Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.
