Основы теории нечетких множеств
Отношения сходства и различия
Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.
Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде
которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:
- ()-транзитивность
- ()-транзитивность
- ()-транзитивность
Наиболее интересными свойствами обладает ()-транзитивное отношение сходства , которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или
отношением подобия. Нетрудно показать, что любой -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества , соответствующих различным -уровням, причем с уменьшением происходит укрупнение классов эквивалентности -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества на непересекающиеся классы эквивалентности.
Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества
на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда , отношение сходства транзитивно тогда и только тогда, если для любых из трех чисел
по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье.
Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.
отношением различия называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различия двойственно отношению сходства. В случае, когда , эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:
что можно записать в алгебраической форме как .
Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:
Очевидно, что это условие двойственно условию ()-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношений это представление получило естественное объяснение.
Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:
От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется
псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является ()-транзитивное отношение сходства.
Двойственным условию ()-транзитивности является следующее условие:
