Основы теории нечетких множеств



             

Отношения сходства и различия


Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.

Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде

которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:

  • ()-транзитивность

  • ()-транзитивность

  • ()-транзитивность

Наиболее интересными свойствами обладает ()-транзитивное отношение сходства , которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или

отношением подобия. Нетрудно показать, что любой -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества , соответствующих различным -уровням, причем с уменьшением происходит укрупнение классов эквивалентности -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества на непересекающиеся классы эквивалентности.

Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества

на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда , отношение сходства транзитивно тогда и только тогда, если для любых из трех чисел

по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье.


Содержание  Назад  Вперед