Основы теории нечетких множеств
Задачи нечеткого упорядочения
Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно определить лишь нечеткое отношение предпочтения, т.е. указать для каждой пары альтернатив и лишь степени, с которыми выполняются предпочтения и . В таких случаях задача принятия решения становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Для двух типов нечетких отношений можно предложить способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.
Пусть — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве (например, отношения нестрого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества . Упорядочение можно осуществлять по значениям следующей функции:
где , а функция
Для вычисления значений функции удобно пользоваться следующим равенством:
По отношению к этому упорядочению максимальным в множестве
является элемент такой, что
Рассмотрим еще одну задачу упорядочения, иллюстрируемую следующим примером.
Требуется решить, кто из детей: старший сын , младший сын или дочь
больше всего похож на отца . Заданы "результаты измерений": и
взятые отдельно, похожи на отца со степенями и соответственно; и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и ; наконец, и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и .
Таким образом, в этой задаче, в отличие от предыдущей, имеется стандартный элемент (шаблон) для упорядочиваемого множества , т.е. элемент, обладающий свойствами, общими для всех элементов этого множества. Иначе говоря, если — нечеткое отношение в (например, отношение сходства), то
При наличии стандартного элемента для каждой пары элементов
и множества
задаются величины , , т.е. степени отношения (например, сходства) и , взятых отдельно, к . Упорядочение элементов множества с заданным таким способом нечетким отношением предлагается осуществлять в соответствии со значениями функции
Максимальным в смысле этого упорядочения является элемент такой, что
Для задачи о сходстве отца и детей значения этой функции таковы:
Отсюда вытекает, что наиболее похож на отца старший сын, затем следуют дочь и младший сын.
