Основы теории нечетких множеств
Формализация понятия нечеткого алгоритма
Различные понятия, нечеткие по своей природе, могут быть формально описаны посредством нечетких множеств. Нечеткая логика, например, позволяет формализовать простые логические связки нечетких переменных с помощью нечетких высказываний. Для описания же сложных соотношений между переменными удобно использовать нечеткие алгоритмы.
Под алгоритмом понимается точно определенное правило действий (программа), для которого задано указание, как и в какой последовательности это правило необходимо применять к исходным данным задачи, чтобы получить ее решение. Характеристиками алгоритма являются:
а) детерминированность — однозначность результата процесса при неизменных исходных данных;
б) дискретность определяемого алгоритмом процесса — расчлененность его на отдельные элементарные акты, возможность выполнения которых человеком или машиной не вызывает сомнения;
в) массовость — исходные данные для алгоритма можно выбрать из некоторого множества данных, т.е. алгоритм должен обеспечить решение любой задачи из класса однотипных задач.
Нечеткий же алгоритм, упрощенно говоря, определяется упорядоченным множеством нечетких инструкций (нечетких высказываний), которые содержат понятия, формализуемые нечеткими множествами.
Под нечеткими инструкциями понимаются инструкции, содержащие нечеткое понятие, например, "пройти около 100 метров", а под машинными — инструкции, не содержащие никаких нечетких понятий: "пройти 100 метров". Здесь и далее четкие инструкции мы будем называть машинными, чтобы подчеркнуть возможность моделирования нечетких алгоритмов на ЭВМ, воспринимающих только чтение инструкций.
Приведем точное определение нечеткого алгоритма. Для формулировки необходимо ввести ряд первоначальных определений и обозначений.
Во-первых, вместо интервала , общепринятого множества значений функции принадлежности, рассматривается непустое множество с отношением частичного порядка и операциями , удовлетворяющими свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а также содержащие нулевой (0) и единичный (1) элементы.
