Основы теории нечетких множеств
Представление нечеткого алгоритма в виде графа
Во многих случаях нечеткий алгоритм удобно представлять в виде ориентированного графа. Каждой дуге ставят в соответствие инструкцию условия или инструкцию операции. Входные, выходные, внутренние переменные в нечетком алгоритме представляются нечеткими множествами. Выполнение алгоритма эквивалентно поиску в графе путей, связывающих помеченные вершины: начальные и конечные. Приведем необходимые для дальнейшего изложения известные определения графа и путей в графе.
Определение.
Графом называется тройка , где — множество элементов, называемых вершинами графа; множество элементов, называемых ребрами графа, причем ; — функция, ставящая в соответствие каждому ребру
упорядоченную или неупорядоченную пару вершин , и называются концами ребра . Если множество конечно, то граф называется конечным. Если — упорядоченная пара (т.е. ), то ребро называется ориентированным ребром или дугой, исходящей из вершины и входящей в вершину ; называется началом, — концом дуги . Граф, все ребра которого ориентированные, называется ориентированным графом.
Определение.
Последовательность вершин и ребер графа
называется путем из вершины
в вершину , если
для . Вершина называется началом, а — концом пути; число
называется длиной пути.
Определение.
Нечеткая программа есть четверка , где — вектор входа, — вектор программы (внутренние переменные), — вектор выхода, — ориентированный граф:
- — нечеткие переменные, определяющие нечеткие множества на ;
- В графе существует точно одна вершина, называемая начальной (стартовой), которая не является конечной вершиной никакой дуги, и существует точно одна вершина, называемая конечной (финальной), которая не является начальной вершиной никакой дуги: любая вершина графа находится на некотором пути из стартовой вершины в финальную вершину ;
- В графе любая дуга , не ведущая в , связана с нечетким отношением и нечеткой инструкцией ; каждая дуга , ведущая в , связана с нечетким отношением и инструкцией , где — нечеткое отношение, и — нечеткая операция типа пересечения, объединения, отрицания нечеткой арифметики, оператор размывания, оператор типа модификаторов и т.д.
