Основы теории нечетких множеств
Алгоритм формирования нечеткого отношения предпочтения
Пусть — множество таких альтернатив, что каждое характеризуется набором оценок по признакам: , и пусть — семейство всех непустых конечных подмножеств множества . Для некоторого известно подмножество выбранных альтернатив , т.е. для любых
и имеет место доминирование . Предварительно, при анализе исходного множества альтернатив, сформирован эталонный набор нечетких оценок . Значения функции принадлежности нечеткой оценки указывают на степень близости значений -го признака к значениям, определяющим идеальную альтернативу. Используя множество предпочтений
требуется найти обобщенные правила предпочтения на множестве .
Пример.
Рассмотрим задачу выбора для рыболовецкого судна рационального района промысла с учетом следующих показателей: — время перехода в район лова, — прогноз вылова, — стоимостная характеристика прогнозируемого объекта лова,
— гидрометеоусловия. Показатели, в сущности, играют роль лингвистических переменных.
Лицу, принимающему решение, предложены альтернативы — (см.табл.12.1). Пусть выбрана альтернатива . Для обучения формируются две таблицы:
| U1 | U2 | U3 | U4 | U1 | U2 | U3 | U4 | ||
| S1 | хор. | хор. | хор. | уд. | S1 | плох. | хор. | плох. | уд. |
| S2 | оч. хор. | плох. | хор. | уд. | S2 | уд. | хор. | хор. | неуд. |
| S3 | оч. хор. | хор. | хор. | неуд. | S3 | плох. | хор. | хор. | уд. |
| S4 | уд. | хор. | хор. | уд. | S4 | уд. | хор. | норм. | уд. |
| S5 | оч. плох. | хор. | хор. | уд. | S5 | уд. | норм. | норм. | уд. |
| S6 | хор. | норм. | плох. | уд. | S6 |
Для каждой пары наборов вычисляются оценки сравнения -го элемента первого набора с -м элементом второго набора:
где определяет конкретный оператор, например, нечеткую меру сходства.
В результате получаются две таблицы наборов нечетких оценок поэлементного сравнения. На основе полученных таблиц, используя логические операторы и логические функции двух переменных, выделяются полезные признаки и минимальный базис. Содержательное значение утверждения, соответствующего минимальному базису, следующее:
где — лингвистическое значение -го показателя, — логический признак. Физический смысл приведенного утверждения: район предпочтительнее района , если утверждение [(время перехода до "меньше", чем до ), и (прогноз вылова в
"больше", чем в ), и (погодные условия в "лучше", чем в )] более истинно, чем обратное утверждение [(время перехода до "больше", чем до ), и (прогноз вылова в "меньше", чем в ), и (погодные условия в "хуже", чем в )].
Далее предположим, что среди неизвестных ситуаций - (табл. 12.1) необходимо выбрать лучшую альтернативу, используя минимальный базис. В табл. 12.2 изображена матрица предпочтений , элементы которой вычислялись посредством гарантированной оценки
| S7 | 0,88 0,38 | 1 0,38 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 | |
| S8 | 0,75 1 | 0,75 1 | 0,75 1 | 0,75 1 | |
| S9 | 1 0,38 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 | |
| S10 | 1 0,38 | 1 0,38 | 1 0,38 | 1 0,38 | |
| S11 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 | 0,88 0,38 |
где — значение -го признака на паре альтернатив — значение -го признака на парах альтернатив -го класса (). Каждый элемент матрицы содержит два значения. Левое значение указывает степень, с которой доминирует над . Правое значение указывает степень, с которой доминирует над . Для построения нечеткого графа предпочтений альтернатив (рис.12.5) используется следующее правило определения отношения доминирования :
где
Рис. 12.5.
Согласно рис. 12.5, является недоминируемой альтернативой, т.е. не существует альтернативы, которая с ненулевой степенью доминирует над .
