Основы теории нечетких множеств
Задачи нечеткого математического программирования
Главная цель нечеткого математического программирования — помочь лицу, принимающему решение, разобраться в выдвинутых им допущениях. Нечеткий подход не подменяет собой простейшего анализа в поисках разумной точности. Он облегчает задачу лица, принимающего решения, позволяя не формулировать явно точные ограничения. Вот почему плодотворный обмен идеями между теорией нечетких множеств и классическим программированием может явиться значительным шагом к созданию новых методов.
Стандартная задача нечеткого математического программирования формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств. Например:
где — заданное множество альтернатив, — заданная функция, которую нужно максимизировать, и — заданные функции ограничений.
При моделировании в нечеткой форме реальных задач принятия решений в распоряжении исследователя-математика могут оказаться лишь нечеткие описания функции и , параметров, от которых зависят эти функции, и самого множества . Таким образом, задача стандартного математического программирования превратится в задачу нечеткого математического программирования.
Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования.
Перечислим некоторые из таких формулировок.
Задача 1.
Максимизация заданной обычной функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив .
Задача 2.
Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования. Пусть определена следующая задача:
Нечеткий вариант этой задачи получается, если "смягчить" ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации функции можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции, причем различным отклонениям значения функции от этой величины приписывать разные степени допустимости.
Задача 3.
Нечетко описана "максимизируемая" функция, т.е. задано отображение , где — универсальное множество альтернатив, — числовая ось.
В этом случае функция при каждом фиксированном представляет собой нечеткое описание оценки результата выбора альтернативы (нечеткую оценку альтернативы ) или нечетко известную реакцию управляемой системы на управление . Задано также нечеткое множество допустимых альтернатив .
Задача 4.
Заданы обычная максимизируемая функция и система ограничений вида , причем параметры в описаниях функций заданы в форме нечетких множеств.
Задача 5.
Нечетко описаны как параметры функций, определяющих ограничения задачи, так и самой максимизируемой функции.
Рассмотрим, например, подробнее задачу линейного программирования с нечёткими коэффициентами. Нечеткость в постановке задачи нечеткого математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции.
(1) |
На практике часто сталкиваются с применением точной теории оптимизации к неточным моделям, где нет оснований приводить точно определенные числа и где слишком часто появляются трудности вычислительного характера при описании больших систем.
Нечеткую обстановку можно рассматривать как множество
альтернатив вместе с его нечеткими подмножествами, представляющими собой нечетко сформулированные критерии (цели и ограничения), т.е. как систему . Принять во внимание по возможности все критерии в такой задаче означает построить функцию
(2) |
в которую цели и ограничения входят одинаковым образом.
Решение можно определить как нечеткое подмножество универсального множества альтернатив. Оптимум соответствует той области , элементы которой максимизируют . Это и есть случай нечеткого математического программирования.
Очевидно, что в реальных ситуациях неразумно проводить резкую границу для множества допустимых альтернатив. Может случится так, что распределения, попадающие за эту границу, дадут эффект, более желательный для лица, принимающего решения.
Например, ясно, что при несовместных распределениях эта область пустая. В таком случае налицо необходимость модификации ограничений. Желательно выяснить, как изменить ограничения задачи, чтобы появились допустимые решения и задача стала разрешимой.
В таких случаях представляется целесообразным вводить нечеткое множество допустимых элементов и, следовательно, рассматривать проблему как задачу нечеткого математического программирования с применением подхода, дающего человеку больше свободы в использовании его субъективных представлений о ситуации.
Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования.
